一、课程编号

二、课程类别：

数学与应用专业专升本课程

三、编写说明

1、本考核大纲参考华东师范大学数学系编的教材《数学分析》进行编写。

2、本大纲适用于数学与应用专业专升本考试。

四、课程考核的要求与知识点

第一章   实数集与函数

1、识记：（1）实数的基本性质；（2）区间与邻域；（3）函数的定义；（4）复合函数；（5）反函数；（6）初等函数。

2、理解：（1）上确界、下确界及确界原理；（2）有界函数；（3）单调函数；（4）奇函数和偶函数；（5）周期函数。

3、运用：（1）求函数值；（2）对函数进行四则运算；（3）用中学所学的基本不等式判断函数的有界性；（4）用定义判断函数的单调性；（5）用定义判断函数的奇偶性；（6）用定义判断函数的周期性。

第二章  数列极限

1、识记：（1）收敛数列和发散数列；（2）无穷小数列；（3）子列；（4）单调数列。

2、理解：（1）数列极限的定义；（2）收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性；（3）四则运算法则；（4）收敛数列的性质与其子列收敛的关系；（5）单调有界定理；（6）柯西收敛准则。

3、运用： （1）用数列极限定义来判断数列的极限存在或不存在；（2）用收敛数列性质、单调有界定理或柯西收敛准则来判断数列极限的存在性；（3）对收敛数列进行四则运算。

第三章  函数极限

1、识记：（1）函数极限类型；（2）两个重要极限；（3）无穷小量及阶；（4）无穷大量；（5）曲线的渐近线。

2、理解：（1）x→∞时函数的极限；（2）函数极限的ε--δ定义；（3）左右极限及单侧极限；（4）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性；四则运算法则；（5）归结原则；（6）柯西准则。

3、运用：（1）用函数极限定义及归结原则来判断函数极限的存在或不存在； （2）用四则运算法则及两个重要极限来求函数极限；（3）求曲线的渐近线； （4）对无穷小量的阶进行比较。

第四章  函数的连续性

1、识记：（1）自变量和函数的增量；（2）间断点；（3）函数的最大值与最小值；（4）初等函数在定义域中连续；（5）初等函数。

2、理解：（1）函数的连续性（包括点的和区间上的）；（2）左连续、右连续及与连续的关系；（3）间断点的分类；（4）连续函数的性质：局部有界性、局部保号性，四则运算法则，复合函数的连续性；（5）闭区间上连续函数的基本性质：最大、最小值定理，根的存在定理，反函数连续性定理，一致连续性定理。

3、运用：1）用定义来判断函数的连续性；（2）用连续函数性质来进行有关证明；（3）用闭区间上连续函数性质进行有关证明。

第五章  导数和微分

1、识记：（1）导数；（2）左导数、右导数及与导数的关系；（3）导函数；（4）导数的几何意义；（5）极值与极值点；（6）稳定点。

2、理解：（1）费马定理；（2）导数的四则运算法则；（3）反函数的导数；（4）复合函数的导数；（5）初等函数的导数公式；（6）参变量函数的导数公式；（7）高阶导数与莱布尼兹公式；（8）微分；（9）微分与导数的关系；（10）微分的运算法则；（11）高阶微分。

3、运用：（1）能用有关法则计算函数的导数与微分；（2）计算曲线的切线与法线方程；（3）用微分作近似计算。

第六章  微分中值定理及其应用

1、识记：（1）不定式极限的基本类型及变型；（2）（严格）凸函数，（严格）凹函数；（3）曲线的拐点。

2、理解：（1）罗尔中值定理；（2）拉格朗日中值定理；（3）拉格朗日中值定理的推论；（4）（严格）单调函数与导数的关系；（5）柯西中值定理；（6）洛必达法则；（7）带有佩亚诺型余项的泰勒公式；（8）带有拉格朗日型余项的泰勒公式；（9）极值的第一充分条件；（10）极值的第二充分条件；（11）凸函数与导数的关系；（12）曲线拐点的必要及充分条件。

3、运用：（1）能用导数来判断函数的单调性、凸性及拐点；（2）求某些理论及实际问题的最值。

第七章   实数的完备性

1、识记：（1）区间套；（2）集合的聚点；（3）开覆盖。

2、理解：（1）区间套定理；（2）聚点定理；（3）有限覆盖定理。

3、运用：用区间套定理、聚点定理及有限覆盖定理对一些简单问题进行计算和证明。

第八章  不定积分

1、识记：（1）原函数；（2）不定积分；（3）基本积分表；（4）有理函数。

2、理解：（1）原函数的性质；（2）不定积分的线性运算法则；（3）第一及第二换元积分法；（4）分部积分法；（5）有理函数积分法。

3、运用：应用基本积分表和各种积分方法求函数的不定积分。

第九章   定积分

1、识记：（1）定积分的概念；（2）可积的必要条件；（3）可积的函数类（三类）；（4）变上限的定积分。

2、理解：（1）牛顿－莱布尼茨公式；（2）定积分的基本性质：线性性、关于区间的可加性，不等式性质；（3）积分第一中值定理；（4）微积分学基本定理；（5）换元积分法；（6）分部积分法。

3、运用：（1）用定积分定义求某些类型数列的极限；（2）用定积分性质来证明积分不等式；（3）用各种积分方法计算定积分。

第十章  定积分的应用

1、识记：（1）曲线的弧长；（2）光滑曲线。

2、理解：（1）求平面图形的面积；（2）求平面曲线的弧长；（3）求具有截面面积的立体体积。

3、运用：（1）求平面图形的面积；（2）求具有截面面积的立体体积；（3）求平面曲线的弧长。

第十一章  反常积分

1、识记：（1）无穷限反常积分的收敛与发散；（2）无界函数反常积分的收敛与发散；（3）无穷限反常积分的绝对收敛与条件收敛；（4）无界函数反常积分的绝对收敛与条件收敛。

2、理解：（1）无穷限积分的性质：柯西准则、线性性、区间可加性；（2）无穷限积分敛散性的判别：比较原则及其极限形式；（3）无穷限积分敛散性的判别：柯西判别法及其极限形式；（4）无穷限积分收敛性的判别：阿贝尔判别法与狄利克雷判别法；（5）瑕积分的性质：柯西准则、线性性、区间可加性；（6）瑕积分的敛散性判别：比较原则及其极限形式；（7）瑕积分的敛散性判别：柯西判别法及其极限形式。

3、运用：（1）用有关定义求反常积分的值；（2）用有关定义及法则判断反常积分的敛散性。

第十二章  数项级数

1、识记：（1）级数及部分和；（2）级数的收敛与发散；（3）收敛级数的和；（4）正项级数；（5）交错级数；（6）级数的绝对收敛与条件收敛。

2、理解：（1）级数收敛的柯西准则与必要条件；（2）收敛级数的性质；（3）比较原则及其极限形式；（4）正项级数的敛散性判别：比式判别法及其极限形式；（5）正项级数的敛散性判别：根式判别法及其极限形式；（6）交错级数的收敛性判别：莱布尼茨判别法；（7）一般项级数收敛性判别：阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

3、运用：（1）能用定义判断级数的敛散性并求收敛级数的和；（2）用正项级数的各种敛散性判别法判断正项级数的敛散性；（3）用柯西准则、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法判别一般项级数的收敛性。

第十三章   函数列与函数项级数

1、识记：（1）函数列在一点的收敛与发散；（2）函数列的收敛域；（3）函数列一致收敛的概念；（4）函数项级数在一点的收敛与发散；（5）函数项级数的收敛域；（6）函数项级数一致收敛的概念。

2、理解：（1）函数列（函数项级）一致收敛的柯西准则；（2）函数列一致收敛的充要条件；（3）函数项级数一致收敛的优级数判别法；（4）函数列一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法；（5）一致收敛函数列（函数项级数）所确定函数的性质：连续性、可积性、可微性。

3、运用：（1）用定义求函数列或函数项级数的极限函数或和函数，并求收敛域；（2）用定义或有关法则判断函数列或函数项级数的一致收敛性；（3）判断函数列或函数项级数的极限函数或和函数的性质，诸如连续性、可积性与可微性。

第十四章  幂级数

1、识记：（1）幂级数；（2）收敛区间与收敛半径；（3）泰勒级数与麦克劳林级数；（4）泰勒展开式或幂级数展开式。

2、理解：（1）收敛半径公式；（2）幂级数的性质；（3）幂级数的运算。

3、运用：（1）能求幂级数的收敛半径与收敛域；（2）能用幂级数的性质、运算法则及某些幂级数的和函数求其它幂级数的和函数；（3）能将某些函数展开成幂级数。

第十五章   傅里叶级数

1、识记：（1）正交函数和正交函数系；（2）傅里叶级数；（3）按段光滑函数；（4）正弦函数与余弦级数。

2、理解：傅里叶级数的收敛定理。

3、运用：（1）求某些函数的傅里叶级数；（2）用收敛定理判断某些函数的傅里叶级数的收敛性。

第十六章   多元函数的极限与连续

1、识记：（1）平面点集的内点、外点、界点与聚点、孤立点；（2）开集与闭集；（3）开域、闭域、区域；（4）有界点集和无界点集；（5）二元函数和n元函数；（6）平面点列的极限。

2、理解：（1）二元函数的极限；（2）二元函数的累次极限；（3）二元函数的累次极限与重极限的关系；（4）二元函数的连续性；（5）有界闭域上连续函数的性质：有界性与最大值、最小值定理。

3、运用：（1）用定义或四则运算法则求二元函数的极限或累次极限；（2）用定义研究二元函数的连续性。

第十七章  多元函数微分学

1、识记：（1）全微分；（2）偏导数；（3）方向导数；（4）梯度；（5）海赛矩阵。

2、理解：（1）函数可微的必要条件和充要条件；（2）复合函数求导的链式法则；（3）混合偏导数可交换的充分条件；（4）极值的必要条件；（5）极值的充分条件。

3、运用：（1）求函数的偏导数、全微分及高阶偏导数；（2）求曲面的切平面方程与法线方程。

第十八章   隐函数定理及其应用

1、识记：（1）显函数与隐函数；（2）隐函数组；（3）条件极值；（4）拉格朗日函数。

2、理解：（1）隐函数存在定理；（2）隐函数组定理；（3）用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。

3、运用：（1）隐函数及隐函数组求导；（2）求平面曲线的切线与法线；（3）求空间曲线的切线与法平面；（4）求曲面的切平面与法线。

第十九章 　含参量积分

1、识记：（1）含参量（正常）积分；（2）累次积分；（3）含参量的无穷限反常积分；（4）含参量的无穷限反常积分的一致收敛性。

2、理解：（1）含参量（正常）积分的连续性、可微性与可积性定理；（2）含参量的无穷限反常积分的一致收敛判别法则：柯西准则、大M判别法、阿贝尔判别法与狄利克雷判别法；（3）含参量的无穷限反常积分的性质：连续性、可微性与可积性。

3、运用：（1）用含参量的微分法求定积分；（2）判断含参量的无穷限反常积分的一致收敛性；（3）用含参量的无穷限反常积分的微分法求无穷限反常积分。

第二十章  曲线积分

1、识记：（1）第一型曲线积分的定义及性质；（2）第二型曲线积分的定义及性质。

2、理解：（1）第一型曲线积分的计算公式；（2）第二型曲线积分的计算公式。

3、运用：（1）求第一型曲线积分和第二型曲线积分。

第二十一章  重积分

1、识记：（1）二重积分的定义；（2）二重积分的性质；（3）x型区域和y型区域；（4）曲线的正向；（5）单连通区域与复连通区域；（6）三重积分的定义及性质。

2、理解：（1）直角坐标系下的二重积分化为逐次积分；（2）格林公式；（3）曲线积分与路径无关的充要条件；（4）二重积分的变量变换公式；（5）用极坐标计算二重积分；（6）三重积分的常用变量变换公式：柱面坐标变换与球坐标变换。

3、运用：（1）计算二重积分和三重积分。

第二十二章  曲面积分

1、识记：（1）第一型曲面积分的定义及性质；（2）单侧曲面与双侧曲面；（3）第二型曲面积分的定义及性质；（4）右手法则。

2、理解：（1）第一型曲面积分的计算公式；（2）第二型曲面积分的计算公式；（3）高斯公式。

3、运用：（1）计算第一型曲面积分；（2）会用第二型曲面积分的计算公式和高斯公式计算第二型曲面积分。

五、课程考核实施要求

1、考核方式

本考核大纲为数学与应用专业专升本学生所用，考核方式为闭卷考试。

2、考试命题

（1）本考核大纲命题内容覆盖了教材的主要内容。

（2）试题对不同能力层次要求的比例为：识记约占15%，理解约占45%，运用约占40%。

（3）试卷中不同难易度试题的比例为：较易占30%，中等占55%，较难占15%。

（4）本课程考试试题类型有填空题（占30％），判断题（占10％）,计算题（占36％），证明题（占24％）等四种形式。

3、课程考核成绩评定

考试卷面成绩即为本课程成绩。

六、教材和参考书

1、教材

华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

2、参考书目

[1] 陈传璋等编.《数学分析》（上、下册）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 张筑生编.《数学分析新讲》（第一、二、三册）（第一版）[M]. 北京：北京大学出版社，1990. 

[3] 谢惠民等编.《数学分析习题课讲义》（上、下册）（第一）[M]. 北京：高等教育出版社，2004.