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《数学分析》课程考核大纲

发布时间:2023-08-29 22:12:45

一、课程编号


二、课程类别:

数学与应用专业专升本课程


三、编写说明

1、本考核大纲参考华东师范大学数学系编的教材《数学分析》进行编写。

2、本大纲适用于数学与应用专业专升本考试。


四、课程考核的要求与知识点

第一章   实数集与函数

1、识记:(1)实数的基本性质;(2)区间与邻域;(3)函数的定义;(4)复合函数;(5)反函数;(6)初等函数。

2、理解:(1)上确界、下确界及确界原理;(2)有界函数;(3)单调函数;(4)奇函数和偶函数;(5)周期函数。

3、运用:(1)求函数值;(2)对函数进行四则运算;(3)用中学所学的基本不等式判断函数的有界性;(4)用定义判断函数的单调性;(5)用定义判断函数的奇偶性;(6)用定义判断函数的周期性。


第二章  数列极限

1、识记:(1)收敛数列和发散数列;(2)无穷小数列;(3)子列;(4)单调数列。

2、理解:(1)数列极限的定义;(2)收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性;(3)四则运算法则;(4)收敛数列的性质与其子列收敛的关系;(5)单调有界定理;(6)柯西收敛准则。

3、运用: (1)用数列极限定义来判断数列的极限存在或不存在;(2)用收敛数列性质、单调有界定理或柯西收敛准则来判断数列极限的存在性;(3)对收敛数列进行四则运算。


第三章  函数极限

1、识记:(1)函数极限类型;(2)两个重要极限;(3)无穷小量及阶;(4)无穷大量;(5)曲线的渐近线。

2、理解:(1)x→∞时函数的极限;(2)函数极限的ε--δ定义;(3)左右极限及单侧极限;(4)函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性;四则运算法则;(5)归结原则;(6)柯西准则。

3、运用:(1)用函数极限定义及归结原则来判断函数极限的存在或不存在; (2)用四则运算法则及两个重要极限来求函数极限;(3)求曲线的渐近线; (4)对无穷小量的阶进行比较。


第四章  函数的连续性

1、识记:(1)自变量和函数的增量;(2)间断点;(3)函数的最大值与最小值;(4)初等函数在定义域中连续;(5)初等函数。

2、理解:(1)函数的连续性(包括点的和区间上的);(2)左连续、右连续及与连续的关系;(3)间断点的分类;(4)连续函数的性质:局部有界性、局部保号性,四则运算法则,复合函数的连续性;(5)闭区间上连续函数的基本性质:最大、最小值定理,根的存在定理,反函数连续性定理,一致连续性定理。

3、运用:1)用定义来判断函数的连续性;(2)用连续函数性质来进行有关证明;(3)用闭区间上连续函数性质进行有关证明。


第五章  导数和微分

1、识记:(1)导数;(2)左导数、右导数及与导数的关系;(3)导函数;(4)导数的几何意义;(5)极值与极值点;(6)稳定点。

2、理解:(1)费马定理;(2)导数的四则运算法则;(3)反函数的导数;(4)复合函数的导数;(5)初等函数的导数公式;(6)参变量函数的导数公式;(7)高阶导数与莱布尼兹公式;(8)微分;(9)微分与导数的关系;(10)微分的运算法则;(11)高阶微分。

3、运用:(1)能用有关法则计算函数的导数与微分;(2)计算曲线的切线与法线方程;(3)用微分作近似计算。


第六章  微分中值定理及其应用

1、识记:(1)不定式极限的基本类型及变型;(2)(严格)凸函数,(严格)凹函数;(3)曲线的拐点。

2、理解:(1)罗尔中值定理;(2)拉格朗日中值定理;(3)拉格朗日中值定理的推论;(4)(严格)单调函数与导数的关系;(5)柯西中值定理;(6)洛必达法则;(7)带有佩亚诺型余项的泰勒公式;(8)带有拉格朗日型余项的泰勒公式;(9)极值的第一充分条件;(10)极值的第二充分条件;(11)凸函数与导数的关系;(12)曲线拐点的必要及充分条件。

3、运用:(1)能用导数来判断函数的单调性、凸性及拐点;(2)求某些理论及实际问题的最值。


第七章   实数的完备性

1、识记:(1)区间套;(2)集合的聚点;(3)开覆盖。

2、理解:(1)区间套定理;(2)聚点定理;(3)有限覆盖定理。

3、运用:用区间套定理、聚点定理及有限覆盖定理对一些简单问题进行计算和证明。


第八章  不定积分

1、识记:(1)原函数;(2)不定积分;(3)基本积分表;(4)有理函数。

2、理解:(1)原函数的性质;(2)不定积分的线性运算法则;(3)第一及第二换元积分法;(4)分部积分法;(5)有理函数积分法。

3、运用:应用基本积分表和各种积分方法求函数的不定积分。


第九章   定积分

1、识记:(1)定积分的概念;(2)可积的必要条件;(3)可积的函数类(三类);(4)变上限的定积分。

2、理解:(1)牛顿-莱布尼茨公式;(2)定积分的基本性质:线性性、关于区间的可加性,不等式性质;(3)积分第一中值定理;(4)微积分学基本定理;(5)换元积分法;(6)分部积分法。

3、运用:(1)用定积分定义求某些类型数列的极限;(2)用定积分性质来证明积分不等式;(3)用各种积分方法计算定积分。


第十章  定积分的应用

1、识记:(1)曲线的弧长;(2)光滑曲线。

2、理解:(1)求平面图形的面积;(2)求平面曲线的弧长;(3)求具有截面面积的立体体积。

3、运用:(1)求平面图形的面积;(2)求具有截面面积的立体体积;(3)求平面曲线的弧长。


第十一章  反常积分

1、识记:(1)无穷限反常积分的收敛与发散;(2)无界函数反常积分的收敛与发散;(3)无穷限反常积分的绝对收敛与条件收敛;(4)无界函数反常积分的绝对收敛与条件收敛。

2、理解:(1)无穷限积分的性质:柯西准则、线性性、区间可加性;(2)无穷限积分敛散性的判别:比较原则及其极限形式;(3)无穷限积分敛散性的判别:柯西判别法及其极限形式;(4)无穷限积分收敛性的判别:阿贝尔判别法与狄利克雷判别法;(5)瑕积分的性质:柯西准则、线性性、区间可加性;(6)瑕积分的敛散性判别:比较原则及其极限形式;(7)瑕积分的敛散性判别:柯西判别法及其极限形式。

3、运用:(1)用有关定义求反常积分的值;(2)用有关定义及法则判断反常积分的敛散性。


第十二章  数项级数

1、识记:(1)级数及部分和;(2)级数的收敛与发散;(3)收敛级数的和;(4)正项级数;(5)交错级数;(6)级数的绝对收敛与条件收敛。

2、理解:(1)级数收敛的柯西准则与必要条件;(2)收敛级数的性质;(3)比较原则及其极限形式;(4)正项级数的敛散性判别:比式判别法及其极限形式;(5)正项级数的敛散性判别:根式判别法及其极限形式;(6)交错级数的收敛性判别:莱布尼茨判别法;(7)一般项级数收敛性判别:阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

3、运用:(1)能用定义判断级数的敛散性并求收敛级数的和;(2)用正项级数的各种敛散性判别法判断正项级数的敛散性;(3)用柯西准则、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法判别一般项级数的收敛性。


第十三章   函数列与函数项级数

1、识记:(1)函数列在一点的收敛与发散;(2)函数列的收敛域;(3)函数列一致收敛的概念;(4)函数项级数在一点的收敛与发散;(5)函数项级数的收敛域;(6)函数项级数一致收敛的概念。

2、理解:(1)函数列(函数项级)一致收敛的柯西准则;(2)函数列一致收敛的充要条件;(3)函数项级数一致收敛的优级数判别法;(4)函数列一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法;(5)一致收敛函数列(函数项级数)所确定函数的性质:连续性、可积性、可微性。

3、运用:(1)用定义求函数列或函数项级数的极限函数或和函数,并求收敛域;(2)用定义或有关法则判断函数列或函数项级数的一致收敛性;(3)判断函数列或函数项级数的极限函数或和函数的性质,诸如连续性、可积性与可微性。


第十四章  幂级数

1、识记:(1)幂级数;(2)收敛区间与收敛半径;(3)泰勒级数与麦克劳林级数;(4)泰勒展开式或幂级数展开式。

2、理解:(1)收敛半径公式;(2)幂级数的性质;(3)幂级数的运算。

3、运用:(1)能求幂级数的收敛半径与收敛域;(2)能用幂级数的性质、运算法则及某些幂级数的和函数求其它幂级数的和函数;(3)能将某些函数展开成幂级数。


第十五章   傅里叶级数

1、识记:(1)正交函数和正交函数系;(2)傅里叶级数;(3)按段光滑函数;(4)正弦函数与余弦级数。

2、理解:傅里叶级数的收敛定理。

3、运用:(1)求某些函数的傅里叶级数;(2)用收敛定理判断某些函数的傅里叶级数的收敛性。


第十六章   多元函数的极限与连续

1、识记:(1)平面点集的内点、外点、界点与聚点、孤立点;(2)开集与闭集;(3)开域、闭域、区域;(4)有界点集和无界点集;(5)二元函数和n元函数;(6)平面点列的极限。

2、理解:(1)二元函数的极限;(2)二元函数的累次极限;(3)二元函数的累次极限与重极限的关系;(4)二元函数的连续性;(5)有界闭域上连续函数的性质:有界性与最大值、最小值定理。

3、运用:(1)用定义或四则运算法则求二元函数的极限或累次极限;(2)用定义研究二元函数的连续性。


第十七章  多元函数微分学

1、识记:(1)全微分;(2)偏导数;(3)方向导数;(4)梯度;(5)海赛矩阵。

2、理解:(1)函数可微的必要条件和充要条件;(2)复合函数求导的链式法则;(3)混合偏导数可交换的充分条件;(4)极值的必要条件;(5)极值的充分条件。

3、运用:(1)求函数的偏导数、全微分及高阶偏导数;(2)求曲面的切平面方程与法线方程。


第十八章   隐函数定理及其应用

1、识记:(1)显函数与隐函数;(2)隐函数组;(3)条件极值;(4)拉格朗日函数。

2、理解:(1)隐函数存在定理;(2)隐函数组定理;(3)用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。

3、运用:(1)隐函数及隐函数组求导;(2)求平面曲线的切线与法线;(3)求空间曲线的切线与法平面;(4)求曲面的切平面与法线。


第十九章  含参量积分

1、识记:(1)含参量(正常)积分;(2)累次积分;(3)含参量的无穷限反常积分;(4)含参量的无穷限反常积分的一致收敛性。

2、理解:(1)含参量(正常)积分的连续性、可微性与可积性定理;(2)含参量的无穷限反常积分的一致收敛判别法则:柯西准则、大M判别法、阿贝尔判别法与狄利克雷判别法;(3)含参量的无穷限反常积分的性质:连续性、可微性与可积性。

3、运用:(1)用含参量的微分法求定积分;(2)判断含参量的无穷限反常积分的一致收敛性;(3)用含参量的无穷限反常积分的微分法求无穷限反常积分。


第二十章  曲线积分

1、识记:(1)第一型曲线积分的定义及性质;(2)第二型曲线积分的定义及性质。

2、理解:(1)第一型曲线积分的计算公式;(2)第二型曲线积分的计算公式。

3、运用:(1)求第一型曲线积分和第二型曲线积分。


第二十一章  重积分

1、识记:(1)二重积分的定义;(2)二重积分的性质;(3)x型区域和y型区域;(4)曲线的正向;(5)单连通区域与复连通区域;(6)三重积分的定义及性质。

2、理解:(1)直角坐标系下的二重积分化为逐次积分;(2)格林公式;(3)曲线积分与路径无关的充要条件;(4)二重积分的变量变换公式;(5)用极坐标计算二重积分;(6)三重积分的常用变量变换公式:柱面坐标变换与球坐标变换。

3、运用:(1)计算二重积分和三重积分。


第二十二章  曲面积分

1、识记:(1)第一型曲面积分的定义及性质;(2)单侧曲面与双侧曲面;(3)第二型曲面积分的定义及性质;(4)右手法则。

2、理解:(1)第一型曲面积分的计算公式;(2)第二型曲面积分的计算公式;(3)高斯公式。

3、运用:(1)计算第一型曲面积分;(2)会用第二型曲面积分的计算公式和高斯公式计算第二型曲面积分。


五、课程考核实施要求

1、考核方式

本考核大纲为数学与应用专业专升本学生所用,考核方式为闭卷考试。


2、考试命题

(1)本考核大纲命题内容覆盖了教材的主要内容。

(2)试题对不同能力层次要求的比例为:识记约占15%,理解约占45%,运用约占40%。

(3)试卷中不同难易度试题的比例为:较易占30%,中等占55%,较难占15%。

(4)本课程考试试题类型有填空题(占30%),判断题(占10%),计算题(占36%),证明题(占24%)等四种形式。


3、课程考核成绩评定

考试卷面成绩即为本课程成绩。


六、教材和参考书

1、教材

华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.


2、参考书目

[1] 陈传璋等编.《数学分析》(上、下册)(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2007.

[2] 张筑生编.《数学分析新讲》(第一、二、三册)(第一版)[M]. 北京:北京大学出版社,1990. 

[3] 谢惠民等编.《数学分析习题课讲义》(上、下册)(第一)[M]. 北京:高等教育出版社,2004. 

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